(1) 放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点Pの軌跡を、$k$ がすべての実数値をとる場合に求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ をCとする。原点O、点A(2, 0)、C上の点Pを頂点とする三角形OAPの重心をGとし、線分GPの中点をMとする。点PがC上を動くとき、点Mの軌跡の方程式を求める。

はい、承知いたしました。与えられた問題について解答します。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点Pの軌跡を、$k$ がすべての実数値をとる場合に求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ をCとする。原点O、点A(2, 0)、C上の点Pを頂点とする三角形OAPの重心をGとし、線分GPの中点をMとする。点PがC上を動くとき、点Mの軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線の式を平方完成して、頂点Pの座標をkで表します。

$y = 5x^2 + 3kx - 6k$

$y = 5(x^2 + \frac{3k}{5}x) - 6k$

$y = 5(x + \frac{3k}{10})^2 - 5(\frac{9k^2}{100}) - 6k$

$y = 5(x + \frac{3k}{10})^2 - \frac{9k^2}{20} - 6k$

頂点Pの座標を$(X, Y)$とすると、

$X = -\frac{3k}{10}$

$Y = -\frac{9k^2}{20} - 6k$

$k$ を消去するために、まず $X$ から $k$ を求めます。

$k = -\frac{10}{3}X$

これを $Y$ に代入します。

$Y = -\frac{9}{20}(-\frac{10}{3}X)^2 - 6(-\frac{10}{3}X)$

$Y = -\frac{9}{20} \cdot \frac{100}{9}X^2 + 20X$

$Y = -5X^2 + 20X$

したがって、点Pの軌跡は放物線 $y = -5x^2 + 20x$ です。

(2)

点Pの座標を$(p, p^2 - 2p + 3)$とします。

三角形OAPの頂点はO(0, 0)、A(2, 0)、P$(p, p^2 - 2p + 3)$なので、重心Gの座標$(x_G, y_G)$は、

$x_G = \frac{0 + 2 + p}{3} = \frac{2 + p}{3}$

$y_G = \frac{0 + 0 + p^2 - 2p + 3}{3} = \frac{p^2 - 2p + 3}{3}$

線分GPの中点Mの座標を$(X, Y)$とすると、

$X = \frac{x_G + p}{2} = \frac{\frac{2+p}{3} + p}{2} = \frac{2 + p + 3p}{6} = \frac{4p + 2}{6} = \frac{2p + 1}{3}$

$Y = \frac{y_G + (p^2 - 2p + 3)}{2} = \frac{\frac{p^2 - 2p + 3}{3} + (p^2 - 2p + 3)}{2} = \frac{p^2 - 2p + 3 + 3(p^2 - 2p + 3)}{6} = \frac{4p^2 - 8p + 12}{6} = \frac{2p^2 - 4p + 6}{3}$

$X$から$p$を求めます。

$3X = 2p + 1$

$p = \frac{3X - 1}{2}$

これを$Y$に代入します。

$Y = \frac{2(\frac{3X - 1}{2})^2 - 4(\frac{3X - 1}{2}) + 6}{3}$

$Y = \frac{2(\frac{9X^2 - 6X + 1}{4}) - 2(3X - 1) + 6}{3}$

$Y = \frac{\frac{9X^2 - 6X + 1}{2} - 6X + 2 + 6}{3}$

$Y = \frac{9X^2 - 6X + 1 - 12X + 16}{6}$

$Y = \frac{9X^2 - 18X + 17}{6}$

$Y = \frac{3}{2}X^2 - 3X + \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -5x^2 + 20x$

(2) $y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$