数列$\{a_n\}$において、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n+12$のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$の値を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$において、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n+12$のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k = n+12$ より、

$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k$

$a_n = (n+12) - ((n-1)+12)$

$a_n = n+12 - (n+11)$

$a_n = 1$ $(n \geq 2)$

また、$a_1 = \sum_{k=1}^{1} a_k = 1+12 = 13$

よって、

$a_n = \begin{cases} 13 & (n=1) \\ 1 & (n \geq 2) \end{cases}$

次に、$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$を求める。

$a_{2k-1}$は数列の奇数番目の項を表す。

$a_1 = 13$

$a_3 = 1$

$a_5 = 1$

$\vdots$

$a_{2k-1} = 1$ (for $k \geq 2$)

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = a_1 + \sum_{k=2}^{n} a_{2k-1} = 13 + \sum_{k=2}^{n} 1 = 13 + (n-1) = n+12$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = n+12$