問題は2つあります。 (1) $\frac{1}{2}(7\vec{a} - 3\vec{b}) + \frac{1}{4}(-6\vec{a} + 5\vec{b})$を簡単にする問題です。 (2) $\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (-1, 2)$のとき、ベクトル$\vec{p} = (4, 7)$を$\vec{p} = k\vec{a} + l\vec{b}$の形で表す問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\frac{1}{2}(7\vec{a} - 3\vec{b}) + \frac{1}{4}(-6\vec{a} + 5\vec{b})$を簡単にする問題です。

(2) $\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (-1, 2)$のとき、ベクトル$\vec{p} = (4, 7)$を$\vec{p} = k\vec{a} + l\vec{b}$の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{2}(7\vec{a} - 3\vec{b}) + \frac{1}{4}(-6\vec{a} + 5\vec{b})$を展開します。

$\frac{7}{2}\vec{a} - \frac{3}{2}\vec{b} - \frac{6}{4}\vec{a} + \frac{5}{4}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$について整理します。

$(\frac{7}{2} - \frac{3}{2})\vec{a} + (-\frac{3}{2} + \frac{5}{4})\vec{b}$

$2\vec{a} + (-\frac{6}{4} + \frac{5}{4})\vec{b}$

$2\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

(2)

$\vec{p} = k\vec{a} + l\vec{b}$を成分で表します。

$\vec{p} = k(2, 1) + l(-1, 2)$

$\vec{p} = (2k - l, k + 2l)$

$\vec{p} = (4, 7)$なので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$2k - l = 4$

$k + 2l = 7$

1つ目の式を2倍して、2つ目の式と足し合わせます。

$4k - 2l = 8$

$k + 2l = 7$

$5k = 15$

$k = 3$

$k + 2l = 7$に$k = 3$を代入します。

$3 + 2l = 7$

$2l = 4$

$l = 2$

よって、$\vec{p} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$となります。

問題文中の$\vec{p} = (3k-l, k+4l)$ですが、$4l$は$2l$の間違いです。修正して以下の連立方程式を解きます。

$3k - l = 4$

$k + 4l = 7$

1つ目の式を4倍して、2つ目の式と足し合わせます。

$12k - 4l = 16$

$k + 4l = 7$

$13k = 23$

$k = \frac{23}{13}$

$k + 4l = 7$に$k = \frac{23}{13}$を代入します。

$\frac{23}{13} + 4l = 7$

$4l = 7 - \frac{23}{13} = \frac{91-23}{13} = \frac{68}{13}$

$l = \frac{17}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}$の係数は$2$、$\vec{b}$の係数は$-\frac{1}{4}$です。

(2) $k=3$, $l=2$

（ただし、問題文中のベクトルpの表記に誤りがある可能性があります。）

修正後の問題について

$\vec{p} = \frac{23}{13}\vec{a} + \frac{17}{13}\vec{b}$

$k = \frac{23}{13}$, $l = \frac{17}{13}$

以下が埋めるべき箇所です

(1)

$\vec{a}$の係数：2

$\vec{b}$の係数：-1/4

(2)

$\vec{p} = (3k - l, k + 2l) = (4, 7)$

$3k - l = 4$

$k + 2l = 7$

$k = 3$

$l = 2$

$\vec{p} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$