与えられた2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるための、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ の解がすべての実数であるための、定数 $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $a > 0$

* 判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$

今回の問題では、$x^2 + kx + 2k - 1 > 0$ であり、$a = 1$, $b = k$, $c = 2k - 1$ です。

まず、$a = 1 > 0$ なので、最初の条件は満たされています。

次に、判別式 $D$ を計算します。

$D = k^2 - 4(1)(2k - 1) = k^2 - 8k + 4$

$D < 0$ である必要があるので、$k^2 - 8k + 4 < 0$ を解きます。

$k^2 - 8k + 4 = 0$ の解を求めるために、解の公式を使います。

$k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$k^2 - 8k + 4 < 0$ を満たす $k$ の範囲は $4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

ソ = $4 - 2\sqrt{3}$

タ = $4 + 2\sqrt{3}$

$4 - 2\sqrt{3} < k < 4 + 2\sqrt{3}$