右の図のような道のある町で、次の条件を満たす最短の道順は何通りあるかを求める問題です。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。 (3) PからX印の箇所は通らずにQまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、次の条件を満たす最短の道順は何通りあるかを求める問題です。

(1) PからQまで行く。

(2) PからRを通ってQまで行く。

(3) PからX印の箇所は通らずにQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合

PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。

したがって、合計9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を求めればよいので、

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り

(2) PからRを通ってQまで行く場合

PからRまで行くには、右に2回、下に2回移動する必要があります。

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

RからQまで行くには、右に3回、下に2回移動する必要があります。

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

したがって、PからRを通ってQまで行く道順は、$6 \times 10 = 60$通り

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く場合

まず、PからQまでの全ての道順は(1)より126通りです。

PからX印を通ってQまで行く道順を計算します。

PからX印まで行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

X印からQまで行くには、右に1回、下に1回移動する必要があります。

${}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通り

PからX印を通ってQまで行く道順は、$35 \times 2 = 70$通り

したがって、PからX印を通らずにQまで行く道順は、$126 - 70 = 56$通り

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 56通り