10以下の自然数全体の集合を $U$ とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 与えられたベン図に $U$ の要素を書き込んで完成させる。 (2) 次の集合を要素を書き並べて表す。 ① $A \cap B$ (共通部分) ② $A \cup B$ (和集合) ③ $\overline{B}$ (補集合) ④ $A \cap \overline{A}$ ⑤ $A \cup \overline{A}$

1. 問題の内容

10以下の自然数全体の集合を $U$ とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 与えられたベン図に $U$ の要素を書き込んで完成させる。

(2) 次の集合を要素を書き並べて表す。

① $A \cap B$ (共通部分)

② $A \cup B$ (和集合)

③ $\overline{B}$ (補集合)

④ $A \cap \overline{A}$

⑤ $A \cup \overline{A}$

2. 解き方の手順

(1) まず、集合 $U$ を書き出す。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ である。

$A$ に含まれる要素は $1, 3, 5, 7, 9$、$B$ に含まれる要素は $6, 7, 8, 9, 10$ であり、ベン図に既に書き込まれている要素に矛盾はない。

$U$ に含まれるが、$A$ にも $B$ にも含まれない要素は $2, 4$ である。これらは $A$ の円にも $B$ の円にも含まれない領域に書き込む。

(2)

① $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ より、$A \cap B = \{7, 9\}$ である。

② $A \cup B$ は、$A$ または $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ より、$A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ である。

③ $\overline{B}$ は、$U$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合である。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ より、$\overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ である。

④ $\overline{A}$ は、$U$ に含まれるが $A$ に含まれない要素の集合である。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ より、$\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ である。

$A \cap \overline{A}$ は、$A$ と $\overline{A}$ の両方に含まれる要素の集合である。しかし、$A$ と $\overline{A}$ に共通の要素はないので、$A \cap \overline{A} = \emptyset$ （空集合）である。

⑤ $A \cup \overline{A}$ は、$A$ または $\overline{A}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。$A \cup \overline{A}$ は $U$ と一致するので、$A \cup \overline{A} = U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ である。

3. 最終的な答え

(1) ベン図の $A$ の円にも $B$ の円にも含まれない領域に 2, 4 を書き込む。

(2)

① $A \cap B = \{7, 9\}$

② $A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

③ $\overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

④ $A \cap \overline{A} = \emptyset$

⑤ $A \cup \overline{A} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$