aが4個、bが3個、cが2個の合計9個の文字を並べてできる文字列の総数を求める問題です。 パターン1では、すべての文字が異なると仮定した場合の総数と、同じ文字が区別できないことを考慮した総数を計算します。 パターン2では、組み合わせを使って総数を計算します。

1. 問題の内容

aが4個、bが3個、cが2個の合計9個の文字を並べてできる文字列の総数を求める問題です。

パターン1では、すべての文字が異なると仮定した場合の総数と、同じ文字が区別できないことを考慮した総数を計算します。

パターン2では、組み合わせを使って総数を計算します。

2. 解き方の手順

パターン1:

* すべての文字が異なると仮定すると、9個の文字の並べ方は9!で求められます。

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

* しかし、aが4個、bが3個、cが2個なので、同じ文字の並べ替えは区別できません。したがって、9!を4!、3!、2!で割る必要があります。

$\frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$

パターン2:

* 9個の場所からaを入れる4か所を選ぶ組み合わせは$_{9}C_{4}$通り。

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

* 残りの5か所からbを入れる3か所を選ぶ組み合わせは$_{5}C_{3}$通り。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 最後に残った2か所にcを入れる組み合わせは$_{2}C_{2}$通り。

$_{2}C_{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

* したがって、すべての組み合わせの総数は、$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

3. 最終的な答え

① 9!

② 1260 通り

③ 1260 通り