大人と子供が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。 (1) 大人が5人、子供が4人のとき、子供同士が隣り合わない並び方の総数を求めます。 (2) 大人が5人、子供が4人のとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数を求めます。 (3) 大人が5人、子供が5人のとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数を求めます。

1. 問題の内容

大人と子供が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。

(1) 大人が5人、子供が4人のとき、子供同士が隣り合わない並び方の総数を求めます。

(2) 大人が5人、子供が4人のとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数を求めます。

(3) 大人が5人、子供が5人のとき、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 子供同士が隣り合わない並び方の場合、まず大人5人を1列に並べ、その間に子供が入る場所を作ります。

大人5人の並び方は $5!$ 通りです。

大人5人が並ぶと、両端を含めて6つの場所ができます。この6つの場所から4つを選んで子供を並べます。

子供4人の並び方は $P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3$ 通りです。

したがって、子供同士が隣り合わない並び方の総数は、$5! \times P(6,4)$ で計算できます。

(2) 大人と子供が交互に並ぶ場合、大人の数が子供の数より多いので、大人が両端になります。

まず大人5人を1列に並べます。その並び方は $5!$ 通りです。

次に、大人の間に子供4人を並べます。大人の間の4つの場所に子供を並べる方法は $4!$ 通りです。

したがって、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数は、$5! \times 4!$ で計算できます。

(3) 大人と子供が交互に並ぶ場合、大人が5人、子供が5人なので、どちらが端に来ても良いことになります。

大人が先頭に来る場合、大人5人を並べる方法は $5!$ 通りです。そして、大人の間に子供5人を並べる方法は $5!$ 通りです。

子供が先頭に来る場合も同様に $5! \times 5!$ 通りです。

したがって、大人と子供が交互に並ぶ並び方の総数は、$5! \times 5! + 5! \times 5! = 2 \times (5! \times 5!)$ で計算できます。

3. 最終的な答え

(1) $5! \times P(6,4) = 120 \times 360 = 43200$ 通り

(2) $5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$ 通り

(3) $2 \times (5! \times 5!) = 2 \times (120 \times 120) = 2 \times 14400 = 28800$ 通り