4種類の数字 $1, 2, 3, 4$ を重複を許して並べて、5桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

## 基本44

1. 問題の内容

4種類の数字 $1, 2, 3, 4$ を重複を許して並べて、5桁の整数を作るとき、何個の整数が作れるか。

2. 解き方の手順

5桁の整数を作るということは、5つの桁それぞれに数字を配置することを考えます。

各桁には、4種類の数字 $1, 2, 3, 4$ のいずれかを配置することができます。

したがって、各桁には4通りの選択肢があります。

5桁すべてにおいて、4通りの選択肢があるので、組み合わせの総数は $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$ となります。

3. 最終的な答え

$4^5 = 1024$ 個

## 基本45

1. 問題の内容

5種類の文字A, B, C, D, Eを、重複を許して次の個数だけ1列に並べるとき、何通りの文字列が作れるか。

(1) 3個

(2) 4個

2. 解き方の手順

(1) 3個の文字列の場合

3つの文字それぞれに、5種類の文字A, B, C, D, Eのいずれかを配置することができます。

したがって、各文字には5通りの選択肢があります。

3文字すべてにおいて5通りの選択肢があるので、組み合わせの総数は $5 \times 5 \times 5$ となります。

(2) 4個の文字列の場合

4つの文字それぞれに、5種類の文字A, B, C, D, Eのいずれかを配置することができます。

したがって、各文字には5通りの選択肢があります。

4文字すべてにおいて5通りの選択肢があるので、組み合わせの総数は $5 \times 5 \times 5 \times 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $5^3 = 125$ 通り

(2) $5^4 = 625$ 通り

## 練習46

1. 問題の内容

先生2人と生徒8人が円形のテーブルのまわりに座るとき、次のような座り方は何通りあるか。

(1) 先生2人が向かい合う。

(2) 先生2人が隣り合う。

2. 解き方の手順

(1) 先生2人が向かい合う場合

まず、1人の先生の席を固定します。円順列なので、誰か1人の位置を固定して考えるのが基本です。

次に、もう1人の先生は向かい側に座るしかないので、席は1通りに決まります。

残りの8人の生徒は、残りの8席に自由に座ることができます。これは8人の順列なので、8!通りです。

(2) 先生2人が隣り合う場合

まず、先生2人を1つのグループとして考えます。このグループと8人の生徒を合わせて9つの要素を円形に並べるので、$(9-1)! = 8!$ 通り。

次に、先生2人の並び順は2通りです。

したがって、合計の座り方は $8! \times 2$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $8! = 40320$ 通り

(2) $8! \times 2 = 80640$ 通り

## 練習47

1. 問題の内容

A組の生徒6人とB組の生徒6人が輪の形に並ぶとき、A組の生徒とB組の生徒が交互に並ぶような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、A組の生徒6人を円形に並べます。これは円順列なので、並び方は $(6-1)! = 5!$ 通りです。

次に、A組の生徒の間にB組の生徒を並べます。A組の生徒の間は6箇所あり、そこにB組の生徒6人を並べるので、並べ方は $6!$ 通りです。

したがって、合計の並び方は $5! \times 6!$ 通りです。

3. 最終的な答え

$5! \times 6! = 120 \times 720 = 86400$ 通り