問題56：6本の平行線が他の8本の平行線と交わっているとき、これらの平行線によってできる平行四辺形は全部で何個あるか。 問題59：PARALLELの8文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

1. 問題の内容

問題56：6本の平行線が他の8本の平行線と交わっているとき、これらの平行線によってできる平行四辺形は全部で何個あるか。

問題59：PARALLELの8文字をすべて使って文字列を作るとき、文字列は何個作れるか。

2. 解き方の手順

問題56：

平行四辺形を作るには、6本の平行線から2本を選び、8本の平行線から2本を選ぶ必要があります。

6本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{2}$ 通りです。

8本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは $_{8}C_{2}$ 通りです。

したがって、平行四辺形の総数は、これらの組み合わせの積で求められます。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_{8}C_{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

問題59：

PARALLELという単語は8文字で構成されており、Lが3回、Aが1回、Rが1回、Pが1回、Eが1回です。

8文字を並べる順列の総数は $\frac{8!}{3!2!1!1!1!}$ で計算できます。ここで、3!はLが3回現れること、2!はAが2回現れることによります。

それ以外の文字は1回ずつなので1!です。

$\frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{40320}{12} = 3360$

3. 最終的な答え

問題56：平行四辺形の総数は $15 \times 28 = 420$ 個です。

問題59：文字列は3360個作れます。