問題53：1から13までの自然数から、異なる数をいくつか選ぶ場合の数を求めます。 (1) 異なる2つの数を選ぶ場合の数を求めます。 (2) 異なる3つの偶数を選ぶ場合の数を求めます。 問題54：正七角形について、次の数を求めます。 (1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 4つの頂点を結んでできる四角形の個数を求めます。 (3) 2つの頂点を結ぶ線分の本数を求めます。 (4) 対角線の本数を求めます。

1. 問題の内容

問題53：1から13までの自然数から、異なる数をいくつか選ぶ場合の数を求めます。

(1) 異なる2つの数を選ぶ場合の数を求めます。

(2) 異なる3つの偶数を選ぶ場合の数を求めます。

問題54：正七角形について、次の数を求めます。

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 4つの頂点を結んでできる四角形の個数を求めます。

(3) 2つの頂点を結ぶ線分の本数を求めます。

(4) 対角線の本数を求めます。

2. 解き方の手順

問題53：

(1) 1から13までの13個の自然数の中から、異なる2つの数を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの問題なので、$_{13}C_2$を計算します。

$_{13}C_2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$

(2) 1から13までの自然数に含まれる偶数は、2, 4, 6, 8, 10, 12の6個です。この6個の偶数の中から、異なる3つの数を選ぶ組み合わせの数を求めます。これも組み合わせの問題なので、 $_6C_3$ を計算します。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

問題54：

(1) 正七角形の7個の頂点から、異なる3つの頂点を選ぶと三角形ができます。これは組み合わせの問題なので、$_{7}C_3$を計算します。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) 正七角形の7個の頂点から、異なる4つの頂点を選ぶと四角形ができます。これは組み合わせの問題なので、$_{7}C_4$を計算します。

$_{7}C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(3) 正七角形の7個の頂点から、2つの頂点を選ぶと線分ができます。これは組み合わせの問題なので、$_{7}C_2$を計算します。

$_{7}C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 7 \times 3 = 21$

(4) 対角線の本数は、線分の本数から辺の本数を引くことで求められます。正七角形なので辺は7本あります。よって、対角線の本数は $21 - 7 = 14$ 本です。

3. 最終的な答え

問題53：

(1) 78

(2) 20

問題54：

(1) 35

(2) 35

(3) 21

(4) 14