与えられた組み合わせの値を計算する問題です。$n$ は3以上の整数とします。 (1) $_6C_3$ (2) $_8C_4$ (3) $_{10}C_2$ (4) $_{15}C_3$ (5) $_5C_0$ (6) $_{10}C_{10}$ (7) $_{15}C_{13}$ (8) $_nC_3$

1. 問題の内容

与えられた組み合わせの値を計算する問題です。$n$ は3以上の整数とします。

(1) $_6C_3$

(2) $_8C_4$

(3) $_{10}C_2$

(4) $_{15}C_3$

(5) $_5C_0$

(6) $_{10}C_{10}$

(7) $_{15}C_{13}$

(8) $_nC_3$

2. 解き方の手順

組み合わせの公式を用います。$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで、$n!$は$n$の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$です。

(1) $_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) $_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(3) $_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

(4) $_{15}C_3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3 \times 2 \times 1 \times 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

(5) $_5C_0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{0!5!} = 1$ (定義より $_nC_0 = 1$)

(6) $_{10}C_{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$ (定義より $_nC_n = 1$)

(7) $_{15}C_{13} = \frac{15!}{13!(15-13)!} = \frac{15!}{13!2!} = \frac{15 \times 14 \times 13!}{13! \times 2 \times 1} = \frac{15 \times 14}{2} = 15 \times 7 = 105$

(8) $_nC_3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 20

(2) 70

(3) 45

(4) 455

(5) 1

(6) 1

(7) 105

(8) $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$