問題109では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{6, 7, 8, 9\}$ と $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。 以下の集合を、要素を書き並べる方法で表現します。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ 問題110では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合A,Bについて、$\overline{A}\cap\overline{B} = \{1, 9\}$, $A\cap B = \{7\}$, $\overline{A} \cap B = \{3, 5\}$であるとき、次の集合を求めます。 (1) $A \cup B$ (2) $B$ (3) $A$

1. 問題の内容

問題109では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{6, 7, 8, 9\}$ と $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。

以下の集合を、要素を書き並べる方法で表現します。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

問題110では、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合A,Bについて、$\overline{A}\cap\overline{B} = \{1, 9\}$, $A\cap B = \{7\}$, $\overline{A} \cap B = \{3, 5\}$であるとき、次の集合を求めます。

(1) $A \cup B$

(2) $B$

(3) $A$

2. 解き方の手順

問題109:

(1) $\overline{A}$: 全体集合 U から A の要素を取り除いたもの。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{6, 7, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(2) $A \cup B$: A と B の要素をすべて含む集合。

$A \cup B = \{6, 7, 8, 9\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap B$: A と B の両方に含まれる要素の集合。

$A \cap B = \{6, 7, 8, 9\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{7, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B}$: 全体集合 U から $A \cup B$ の要素を取り除いたもの。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 4\}$

(5) $\overline{A \cap B}$: 全体集合 U から $A \cap B$ の要素を取り除いたもの。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{7, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

問題110:

(1) ベン図を描いて考えます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 2\}$であり、$A \cup B$の外側を表します。

$A \cap B = \{7\}$であり、$A$と$B$の共通部分を表します。

$\overline{A} \cap B = \{3, 5\}$であり、$B$から$A$の要素を取り除いた集合です。

全体集合は$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$であるので、$A \cup B = U - (\overline{A} \cap \overline{B}) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 9\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{7\} \cup \{3, 5\} = \{3, 5, 7\}$

(3) $A = (A \cup B) - (\overline{A} \cap B) - (\overline{A} \cap \overline{B})- (A \cap B) = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{3, 5\} = \{2,4,6,7,8\}$

3. 最終的な答え

問題109:

(1) $\overline{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(2) $A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cap B = \{7, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{2, 4\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$

問題110:

(1) $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B = \{3, 5, 7\}$

(3) $A = \{4, 6, 7, 8\}$