6個の球を3つの箱に入れる場合の数を、球と箱の区別の有無、および空箱の許容によって求めます。具体的には、以下の3つの場合について考えます。 (1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき (a) 空箱があってもよい (b) 空箱はない (2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない (3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない

1. 問題の内容

6個の球を3つの箱に入れる場合の数を、球と箱の区別の有無、および空箱の許容によって求めます。具体的には、以下の3つの場合について考えます。

(1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき

(a) 空箱があってもよい

(b) 空箱はない

(2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない

(3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない

2. 解き方の手順

(1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき

(a) 空箱があってもよい場合

これは、6個の球を3つの箱に入れる方法を求める問題で、空箱があってもよいので、重複組み合わせの問題として考えることができます。

$n$個のものを$r$個の箱に入れる場合の数は、重複組み合わせ ${}_{n+r-1}C_{r-1}$ で計算できます。

この場合、$n=6$ (球の数) , $r=3$ (箱の数)なので、

${}_{6+3-1}C_{3-1} = {}_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り

(b) 空箱がない場合

これは、6個の球を3つの箱に入れる方法を求める問題で、空箱があってはいけないので、まず各箱に1個ずつ球を入れ、残りの3個の球を3つの箱に自由に配分する方法を考えます。

$n'=6-3=3$個の球を$r=3$個の箱に入れる場合の数は、重複組み合わせ ${}_{n'+r-1}C_{r-1}$ で計算できます。

${}_{3+3-1}C_{3-1} = {}_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

(2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない場合

これは、6個の区別できる球を3つの区別できる箱に入れる方法を求める問題で、空箱があってはいけないので、各箱に少なくとも1個は球が入っている必要があります。

まず、6個の球を3つのグループに分ける方法を考えます。ありうる分け方は、(4,1,1), (3,2,1), (2,2,2)の3パターンです。

(4,1,1)のとき、グループ分けの方法は、${}_{6}C_{4} \times {}_{2}C_{1} \times {}_{1}C_{1} \times \frac{1}{2!} = 15$通り。3つの箱への入れ方は$3! = 6$通りなので、$15 \times 3 = 45$

(3,2,1)のとき、グループ分けの方法は、${}_{6}C_{3} \times {}_{3}C_{2} \times {}_{1}C_{1} = 20 \times 3 = 60$通り。3つの箱への入れ方は$3! = 6$通りなので、$60 \times 6 = 360$通り。

(2,2,2)のとき、グループ分けの方法は、${}_{6}C_{2} \times {}_{4}C_{2} \times {}_{2}C_{2} \times \frac{1}{3!} = 15 \times 6 \times 1 \times \frac{1}{6} = 15$通り。3つの箱への入れ方は$3! = 6$通りなので、$15 \times 6 = 90$通り。

しかし、これは箱の区別を無視しているので、グループに分けて箱に入れることを考えると、(4,1,1)の場合、${}_{6}C_{4} \times {}_{2}C_{1} \times {}_{1}C_{1} = \frac{6!}{4!1!1!} \frac{1}{2!} = 15$通りに分け、3つの箱に分ける方法は $3!/2! = 3$通りあります。したがって$15 \times 3 = 45$通り。(3,2,1)の場合は、$6!/(3!2!1!) = 60$通りの分け方があり、3つの箱に分ける方法は$3! = 6$通りあるので、$60 \times 6 = 360$通り。(2,2,2)の場合は、$6!/(2!2!2!) = 90$通りに分け、3つの箱に分ける方法は$3!= 6$通りありますが、同じ個数なので、$60 \times 6 = 90 \times 6 / 6=15$通り。箱の区別を考慮すると $15 \times \frac{1}{6} =15$通り。箱の区別はあり3個のグループを並べ替えるので $6$をかける。${}_{6}C_{2} \times {}_{4}C_{2} \times {}_{2}C_{2} / (3! ) * (3!) = 15$通り。

したがって、$90 /6 \times 3!=90$通り。

したがって、$45+360+90=540$通りとなります。

もしくは包除原理を用いる。

3^6 - 3 * 2^6 + 3 = 729 - 192 + 3 = 540

(3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない場合

これは、6個の区別できる球を3つの区別のない箱に入れる方法を求める問題で、空箱があってはいけないので、各箱に少なくとも1個は球が入っている必要があります。これは第2種スターリング数と呼ばれるものです。

$S(n, k) = \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{k} (-1)^i {}_{k}C_{i} (k-i)^n$

$S(6, 3) = \frac{1}{3!} \sum_{i=0}^{3} (-1)^i {}_{3}C_{i} (3-i)^6 = \frac{1}{6} [{}_{3}C_{0} (3)^6 - {}_{3}C_{1} (2)^6 + {}_{3}C_{2} (1)^6 - {}_{3}C_{3} (0)^6 ]$

$= \frac{1}{6} [1 \times 729 - 3 \times 64 + 3 \times 1 - 1 \times 0 ] = \frac{1}{6} [729 - 192 + 3] = \frac{540}{6} = 90$通り

3. 最終的な答え

(1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき

(a) 空箱があってもよい：28通り

(b) 空箱はない：10通り

(2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない：540通り

(3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない：90通り