以下の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

半角の公式を用いて、$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換します。

$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$

よって、

$\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{1}{\frac{2(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{2}{2 + 2t^2 + 1 - t^2} dt$

$= \int \frac{2}{t^2 + 3} dt$

$= 2 \int \frac{1}{t^2 + (\sqrt{3})^2} dt$

$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C$

$= \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}} + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{A (\cos x - \sin x) + B (-\sin x - \cos x)}{\cos x - \sin x} dx$

$\sin x = A (\cos x - \sin x) + B (-\sin x - \cos x)$

$\sin x = (A - B) \cos x + (-A - B) \sin x$

$A - B = 0$ より $A = B$

$-A - B = 1$ より $-2A = 1$ なので $A = -\frac{1}{2}$

よって $B = -\frac{1}{2}$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{-\frac{1}{2} (\cos x - \sin x) - \frac{1}{2} (-\sin x - \cos x)}{\cos x - \sin x} dx$

$= \int (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{-\sin x - \cos x}{\cos x - \sin x}) dx$

$= -\frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \frac{-\sin x - \cos x}{\cos x - \sin x} dx$

$= -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}} + C$

(2) $-\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$