関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = x^2 + 2x$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = x^2 + 2x$ が与えられたとき、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数 $(g \circ f)(x)$ を求める。

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ である。

まず、$f(x)$ を $g(x)$ に代入する。

$g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 2(2x - 1)$

展開して整理する。

$(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

$2(2x - 1) = 4x - 2$

したがって、

$g(f(x)) = (4x^2 - 4x + 1) + (4x - 2) = 4x^2 - 1$

(2) 合成関数 $(f \circ g)(x)$ を求める。

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ である。

まず、$g(x)$ を $f(x)$ に代入する。

$f(g(x)) = f(x^2 + 2x) = 2(x^2 + 2x) - 1$

展開して整理する。

$2(x^2 + 2x) = 2x^2 + 4x$

したがって、

$f(g(x)) = 2x^2 + 4x - 1$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = 4x^2 - 1$

$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 4x - 1$