与えられた行列の行列式を計算します。行列式は、以下の展開式を用いて計算できます。
det(A)=∑σ∈Snsgn(σ)∏i=1nai,σi ここで、Snは{1,2,...,n}の置換全体の集合、sgn(σ)は置換σの符号、ai,σiは行列Aの(i, σi)番目の要素です。 ただし、与えられた行列は歪対称行列であることに注意すると、行列式は(p⋅p)2の形になることが予想されます。ここでpはpfaffianです。今回は丁寧に展開して計算します。 まず、1行目で余因子展開します。
$\begin{vmatrix}
0 & f & b & c \\
-f & 0 & e & d \\
-b & -e & 0 & a \\
-c & -d & -a & 0
\end{vmatrix}
= 0 \cdot C_{11} - f \cdot C_{12} + b \cdot C_{13} - c \cdot C_{14}$
ここで、Cijは(i,j)成分の余因子です。 C12=(−1)1+2−f−b−ce0−ada0=−[−f(0+a2)−e(0+ac)+d(ab−0)]=fa2+ace−abd C13=(−1)1+3−f−b−c0−e−dda0=−f(0+ad)−0+d(bd−ce)=−(−f(−ad)−0+(−fd))=adf−bde+cde=adf−bde+cde=adf−bde+cde C14=(−1)1+4−f−b−c0−e−de0−a=−[−f(ae−0)−0+e(bd−ce)]=−(−fae+bde−ce2)=fae−bde+ce2 行列式は、
−f(fa2+ace−abd)+b(−adf+bde−cde)+c(fae−bde+ce2)=−f2a2−acfe+abdf−abdf+b2de−bcde+acfe−bcde+c2e2=b2de−2bcde+c2e2−a2f2=−a2f2+e(db2−2dbc+c2)=−a2f2+de(b−c)2=−(af)2+(be−cd)2=(ea−fb)2−(b∗ed−ce2)=(ae−bf−cd)2=(ae−bf−cd)2. この行列式は (ae−bf+cd)2になります。 