関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられています。 次の条件を満たす1次関数 $f(x)$ を求めます。 条件1: $(f \circ f)(x) = x$ 条件2: $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$

1. 問題の内容

関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられています。

次の条件を満たす1次関数 $f(x)$ を求めます。

条件1: $(f \circ f)(x) = x$

条件2: $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を1次関数なので $f(x) = ax + b$ とおきます。

条件1から $f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b = x$

これが任意の $x$ について成り立つには、

$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$ が必要です。

$a^2 = 1$ より $a = 1$ または $a = -1$ です。

(i) $a = 1$ のとき:

$b + b = 2b = 0$ より $b = 0$ なので、 $f(x) = x$ となります。

(ii) $a = -1$ のとき:

$-b + b = 0$ となり、$b$ は任意の実数となります。

よって、 $f(x) = -x + b$ となります。

次に条件2を考えます。

$f(g(x)) = f(-x + 1) = a(-x + 1) + b = -ax + a + b$

$g(f(x)) = g(ax + b) = -(ax + b) + 1 = -ax - b + 1$

よって、 $-ax + a + b = -ax - b + 1$ が成り立ちます。

$a + b = -b + 1$ より $a + 2b = 1$ が得られます。

(i) $a = 1$ のとき:

$1 + 2b = 1$ より $2b = 0$ なので $b = 0$。

このとき $f(x) = x$ です。

(ii) $a = -1$ のとき:

$-1 + 2b = 1$ より $2b = 2$ なので $b = 1$。

このとき $f(x) = -x + 1$ です。

確認をします。

$f(x) = x$ のとき:

$f(f(x)) = f(x) = x$ であり、

$f(g(x)) = f(-x + 1) = -x + 1$

$g(f(x)) = g(x) = -x + 1$

よって、$f(x) = x$ は条件を満たします。

$f(x) = -x + 1$ のとき:

$f(f(x)) = f(-x + 1) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$ であり、

$f(g(x)) = f(-x + 1) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$

$g(f(x)) = g(-x + 1) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$

よって、$f(x) = -x + 1$ も条件を満たします。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$