(a) A型の傷が見つからない確率 (b) A型とB型の傷がともに見つかる確率 (c) A型またはB型の傷が見つかる確率 (d) A型とB型の傷がともに見つからない確率

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1. 問題の内容

1. ある商品の傷の検査において、A型の傷が見つかる確率が0.03、B型の傷が見つかる確率が0.05である。A型の傷とB型の傷が見つかる事象は独立であるとする。このとき、以下の確率を求める。

(a) A型の傷が見つからない確率

(b) A型とB型の傷がともに見つかる確率

(c) A型またはB型の傷が見つかる確率

(d) A型とB型の傷がともに見つからない確率

2. ある工場で廃棄物処理を2つの過程で行っている。1次処理の結果は良好($O_1$)、不十分($U_1$)、不良($X_1$)のいずれかであり、2次処理の結果は良好($O_2$)、不良($X_2$)のいずれかである。各処理の結果はそれぞれ等確率で独立であるとする。このとき、以下の確率を求める。

(a) 1次処理の結果が良好ではない確率

(b) 1次処理または2次処理が良好である確率

(c) 1次処理、2次処理ともに不良ではない確率

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2. 解き方の手順

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1. ある商品の傷の検査

(a) A型の傷が見つかる確率を$P(A)$とすると、$P(A) = 0.03$である。A型の傷が見つからない確率は、A型の傷が見つかる確率の余事象なので、

$1 - P(A) = 1 - 0.03$

となる。

(b) A型の傷が見つかる事象をA、B型の傷が見つかる事象をBとすると、$P(A) = 0.03$、$P(B) = 0.05$である。A型とB型の傷がともに見つかる確率は、AとBが独立であることから、

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.03 \times 0.05$

となる。

(c) A型またはB型の傷が見つかる確率は、

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.03 + 0.05 - (0.03 \times 0.05)$

となる。

(d) A型とB型の傷がともに見つからない確率は、$P(\overline{A} \cap \overline{B})$で表される。AとBが独立なので$\overline{A}$と$\overline{B}$も独立である。

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) = (1 - 0.03) \times (1 - 0.05)$

となる。

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2. ある工場で廃棄物処理

(a) 1次処理の結果は良好($O_1$)、不十分($U_1$)、不良($X_1$)のいずれかであり、各処理の結果は等確率なので、$P(O_1) = P(U_1) = P(X_1) = 1/3$である。

1次処理の結果が良好ではない確率は、$P(\overline{O_1}) = P(U_1) + P(X_1) = 1/3 + 1/3$

となる。

(b) 1次処理が良好である確率を$P(O_1)$、2次処理が良好である確率を$P(O_2)$とすると、

$P(O_1) = 1/3$、$P(O_2) = 1/2$である。1次処理または2次処理が良好である確率は、

$P(O_1 \cup O_2) = P(O_1) + P(O_2) - P(O_1 \cap O_2) = P(O_1) + P(O_2) - P(O_1) \times P(O_2) = 1/3 + 1/2 - (1/3 \times 1/2)$

となる。

(c) 1次処理、2次処理ともに不良ではない確率は、1次処理が良好または不十分であり、2次処理が良好である確率に等しい。よって、1次処理が不良でない確率は$P(\overline{X_1})= P(O_1) + P(U_1) = 2/3$、2次処理が不良でない確率は$P(\overline{X_2}) = P(O_2) = 1/2$。

両者が独立なので、$P(\overline{X_1} \cap \overline{X_2}) = P(\overline{X_1}) \times P(\overline{X_2}) = 2/3 \times 1/2$

となる。

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3. 最終的な答え

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1. ある商品の傷の検査

(a) A型の傷が見つからない確率：0.97

(b) A型とB型の傷がともに見つかる確率：0.0015

(c) A型またはB型の傷が見つかる確率：0.0785

(d) A型とB型の傷がともに見つからない確率：0.9215

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2. ある工場で廃棄物処理

(a) 1次処理の結果が良好ではない確率：2/3

(b) 1次処理または2次処理が良好である確率：2/3

(c) 1次処理、2次処理ともに不良ではない確率：1/3