与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行操作を行います。

ステップ1: 1行目を基準に4行目を引く

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix}

\rightarrow

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

（4行目）-（1行目）

ステップ2: 1行目を基準に3行目を足す

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

\rightarrow

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

0 & -1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

（3行目）+（1行目）

ステップ3: 1列目で余因子展開を行います。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

0 & -1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= 1 *

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 0 \\

1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

ステップ4: 3x3行列の行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 0 \\

1 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= 0 * (-1*2 - 0*1) - (-1) * (-1*2 - 0*1) + 1*(-1*1 - (-1)*1)

= 0 + (-2) + 0

= -2

$$

ここで3x3行列の行列式の計算は以下のように行った。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)

$$

最終的な答え

-2