与えられた不等式を解く問題です。具体的には、一次不等式、絶対値を含む不等式、連立不等式、二次不等式の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。具体的には、一次不等式、絶対値を含む不等式、連立不等式、二次不等式の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

各不等式を一つずつ解いていきます。

問1

(1) $2x + 7 > 5x - 8$

$15 > 3x$

$x < 5$

(2) $|x - 2| < 5$

$-5 < x - 2 < 5$

$-3 < x < 7$

(3) $|x + 1| + |x - 5| < 5$

場合分けが必要です。

(i) $x < -1$のとき、$-(x+1) - (x-5) < 5$ -> $-2x + 4 < 5$ -> $-2x < 1$ -> $x > -\frac{1}{2}$ これは、$x < -1$を満たさないので解なし。

(ii) $-1 \le x < 5$のとき、$(x+1) - (x-5) < 5$ -> $6 < 5$　これは成立しないので解なし。

(iii) $x \ge 5$のとき、$(x+1) + (x-5) < 5$ -> $2x - 4 < 5$ -> $2x < 9$ -> $x < \frac{9}{2}$。これは、$x \ge 5$を満たすので、$5 \le x < \frac{9}{2}$。

よって、$5 \le x < \frac{9}{2}$

問2

(1)

$4x - 8 < x + 1$ -> $3x < 9$ -> $x < 3$

$3x + 4 < 5x + 8$ -> $-4 < 2x$ -> $x > -2$

したがって、$-2 < x < 3$

(2)

$2x + 3 \ge -5x + 45$ -> $7x \ge 42$ -> $x \ge 6$

$-x - 3 \ge 2x - 15$ -> $-3x \ge -12$ -> $x \le 4$

これらを同時に満たす $x$ は存在しないので、解なし。

(3)

$2x + 1 \le x + 5$ -> $x \le 4$

$x + 5 \le 3x + 4$ -> $1 \le 2x$ -> $x \ge \frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{2} \le x \le 4$

(4)

$2x + 3 \ge -5x + 1$ -> $7x \ge -2$ -> $x \ge -\frac{2}{7}$

$-x - 3 < 2x - 2$ -> $-1 < 3x$ -> $x > -\frac{1}{3}$

$2x + 1 > 2$ -> $2x > 1$ -> $x > \frac{1}{2}$

したがって、$x > \frac{1}{2}$

問3

(1) $x^2 + 4x + 3 < 0$

$(x+1)(x+3) < 0$

$-3 < x < -1$

(2) $3x^2 + 4x \ge x^2 - 3x$

$2x^2 + 7x \ge 0$

$x(2x + 7) \ge 0$

$x \le -\frac{7}{2}, x \ge 0$

(3) $2x^2 - 4x + 2 > 0$

$2(x^2 - 2x + 1) > 0$

$2(x - 1)^2 > 0$

$x \ne 1$

(4) $2x^2 - x + 6 < 0$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(2)(6) = 1 - 48 = -47 < 0$

したがって、実数解を持たないため、解なし。

3. 最終的な答え

問1

(1) $x < 5$

(2) $-3 < x < 7$

(3) $5 \le x < \frac{9}{2}$

問2

(1) $-2 < x < 3$

(2) 解なし

(3) $\frac{1}{2} \le x \le 4$

(4) $x > \frac{1}{2}$

問3

(1) $-3 < x < -1$

(2) $x \le -\frac{7}{2}, x \ge 0$

(3) $x \ne 1$

(4) 解なし