ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられ、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ によって変換されたベクトル $Aa$, $Ab$, $Ac$ によって作られる平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられ、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ によって変換されたベクトル $Aa$, $Ab$, $Ac$ によって作られる平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$Aa$, $Ab$, $Ac$ を計算する。

$Aa = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$Ab = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$Ac = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

平行六面体の体積は、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の絶対値で与えられる。すなわち、

$V = | \det(Aa, Ab, Ac) |$

$\det(Aa, Ab, Ac) = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

行列式を計算する。

$\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 2(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 0 + 1(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 2(-1) + 1(-1) = -2 - 1 = -3$

したがって、体積 $V = |-3| = 3$

3. 最終的な答え

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