与えられた3つの行列の行列式を計算します。 (1) 2x2行列 $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$ (2) 2x2行列 $\begin{vmatrix} \cosh\varphi & \sinh\varphi \\ \sinh\varphi & \cosh\varphi \end{vmatrix}$、ただし $\cosh\varphi = \frac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}$ および $\sinh\varphi = \frac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2}$。 (3) 4x4行列 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の行列式を計算します。

(1) 2x2行列 $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$

(2) 2x2行列 $\begin{vmatrix} \cosh\varphi & \sinh\varphi \\ \sinh\varphi & \cosh\varphi \end{vmatrix}$、ただし $\cosh\varphi = \frac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}$ および $\sinh\varphi = \frac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2}$。

(3) 4x4行列 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は $ad - bc$ で計算されます。

(2) $\cosh\varphi$ と $\sinh\varphi$ の定義を使って計算します。

(3) 行列を変形して、行列式を計算します。

(1)

行列式は $(2 \times -1) - (3 \times -4) = -2 - (-12) = -2 + 12 = 10$

(2)

行列式は $(\cosh\varphi)^2 - (\sinh\varphi)^2$ です。

$\cosh\varphi = \frac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2}$ および $\sinh\varphi = \frac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2}$ を代入します。

$(\frac{e^{\varphi}+e^{-\varphi}}{2})^2 - (\frac{e^{\varphi}-e^{-\varphi}}{2})^2 = \frac{(e^{\varphi}+e^{-\varphi})^2 - (e^{\varphi}-e^{-\varphi})^2}{4}$

$= \frac{(e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi}) - (e^{2\varphi} - 2 + e^{-2\varphi})}{4} = \frac{e^{2\varphi} + 2 + e^{-2\varphi} - e^{2\varphi} + 2 - e^{-2\varphi}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(3)

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

まず、1行目を4行目に足し合わせ、3行目を4行目に足し合わせると、

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ -> $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1+1-1+1 & 0-1+1 & -1-1+1 & 1+1+1+1 \end{vmatrix}$ -> $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}$

次に、第1行を第3行に足すと、

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}$

1列目で展開すると、

$1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} - 0 + (-1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}$

1列目で展開すると、$-(-1) \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (-4+1) = -3$

この結果を最初に求める4x4の行列式に代入する。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1+1 = 0$

よって、求める行列式は$-3-2(0)=-3$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 1

(3) -3