与えられた4x4行列の行列式の値を求めます。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 6 & 6 & -8 & 7 \\ 4 & 5 & -5 & 5 \\ 6 & 3 & -5 & 8 \\ 4 & 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式の値を求めます。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} 6 & 6 & -8 & 7 \\ 4 & 5 & -5 & 5 \\ 6 & 3 & -5 & 8 \\ 4 & 2 & -6 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算する一般的な手順は、行または列に関する展開を使用することです。ただし、直接計算する前に、行列を簡略化できるかどうかを確認するのが通常は効率的です。

まず、1行目と3行目が似ていることに気づきます。3行目から1行目を引くと、3行目の最初の要素を0にできます。

$\begin{vmatrix} 6 & 6 & -8 & 7 \\ 4 & 5 & -5 & 5 \\ 6 & 3 & -5 & 8 \\ 4 & 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - R_1} \begin{vmatrix} 6 & 6 & -8 & 7 \\ 4 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & -3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 1 \end{vmatrix}$

次に、行列式を最初の列で展開します。

$\begin{vmatrix} 6 & 6 & -8 & 7 \\ 4 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & -3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 5 & -5 & 5 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 6 & -8 & 7 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} \dots \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 6 & -8 & 7 \\ 5 & -5 & 5 \\ -3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

3x3行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 5 & -5 & 5 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} = 5(3 - (-6)) - (-5)(-3 - 2) + 5(18 - 6) = 5(9) + 5(-5) + 5(12) = 45 - 25 + 60 = 80$

$\begin{vmatrix} 6 & -8 & 7 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \end{vmatrix} = 6(3 - (-6)) - (-8)(-3 - 2) + 7(18 - 6) = 6(9) - 8(5) + 7(12) = 54 - 40 + 84 = 98$

$\begin{vmatrix} 6 & -8 & 7 \\ 5 & -5 & 5 \\ -3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 6(-5-15) - (-8)(5-(-15)) + 7(15-15) = 6(-20) + 8(20) + 7(0) = -120 + 160 = 40$

したがって、元の4x4行列式の値は次のようになります。

$6(80) - 4(98) - 4(40) = 480 - 392 - 160 = 480 - 552 = -72$

3. 最終的な答え

-72