関数 $f(x) = (2x-1)^3$ の $x=0$ における微分係数 $f'(0)$ を、微分係数の定義に基づいて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x-1)^3$ の $x=0$ における微分係数 $f'(0)$ を、微分係数の定義に基づいて求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この定義に基づいて、$x=0$ における微分係数 $f'(0)$ を計算します。

まず、$f(0)$ と $f(0+h)$ を計算します。

$f(0) = (2(0)-1)^3 = (-1)^3 = -1$

$f(0+h) = f(h) = (2h-1)^3$

次に、$f'(0)$ を定義に従って計算します。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2h-1)^3 - (-1)}{h}$

$(2h-1)^3$ を展開すると、

$(2h-1)^3 = (2h)^3 - 3(2h)^2(1) + 3(2h)(1)^2 - 1^3 = 8h^3 - 12h^2 + 6h - 1$

したがって、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(8h^3 - 12h^2 + 6h - 1) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8h^3 - 12h^2 + 6h}{h}$

$h$ で割ると、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} (8h^2 - 12h + 6)$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(0) = 8(0)^2 - 12(0) + 6 = 6$

3. 最終的な答え

6