$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 $x > \tan x - \frac{\tan^3 x}{3}$

1. 問題の内容

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

$x > \tan x - \frac{\tan^3 x}{3}$

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x - \tan x + \frac{\tan^3 x}{3}$ を定義します。

このとき、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) > 0$ を示せば良いことになります。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 1 - \sec^2 x + \tan^2 x \sec^2 x = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x}$

$= \frac{\cos^4 x - \cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^4 x} = \frac{\cos^4 x - \cos^2 x + (1 - \cos^2 x)}{\cos^4 x} = \frac{\cos^4 x - 2\cos^2 x + 1}{\cos^4 x} = \frac{(\cos^2 x - 1)^2}{\cos^4 x} = \frac{(-\sin^2 x)^2}{\cos^4 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} = \tan^4 x$

したがって、$f'(x) = \tan^4 x$ となります。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\tan x > 0$ であるから、$f'(x) = \tan^4 x > 0$ となります。

よって、$f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加関数です。

次に、$x = 0$ における $f(x)$ の値を考えます。

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} \left( x - \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} \right) = 0 - 0 + \frac{0}{3} = 0$

$f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加関数であり、$x \to +0$ で $f(x) \to 0$ となることから、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $f(x) > 0$ であることがわかります。

すなわち、$x - \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} > 0$ より、$x > \tan x - \frac{\tan^3 x}{3}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$x > \tan x - \frac{\tan^3 x}{3}$ が成り立つ。