この問題は、不定積分の計算と、与えられた接線の傾きを持つ関数の決定に関するものです。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。 (1) $\int x^3 dx$ を計算する。 (2) $\int (x^2 + x + 3) dx$ を計算する。 (3) $f'(x) = 6x^2 + 1$ であり、点(0, 1)を通る関数 $f(x)$ を求める。

## 回答

1. 問題の内容

この問題は、不定積分の計算と、与えられた接線の傾きを持つ関数の決定に関するものです。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。

(1) $\int x^3 dx$ を計算する。

(2) $\int (x^2 + x + 3) dx$ を計算する。

(3) $f'(x) = 6x^2 + 1$ であり、点(0, 1)を通る関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\int x^3 dx$ の計算

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$、C は積分定数) を用いる。

$n = 3$ なので、

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$

(2) $\int (x^2 + x + 3) dx$ の計算

不定積分の線形性により、

$\int (x^2 + x + 3) dx = \int x^2 dx + \int x dx + \int 3 dx$

それぞれの項を積分すると、

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

$\int 3 dx = 3x + C_3$

したがって、

$\int (x^2 + x + 3) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x + C$ (ただし $C = C_1 + C_2 + C_3$)

(3) $f'(x) = 6x^2 + 1$ であり、点(0, 1)を通る関数 $f(x)$ を求める。

$f(x)$ は $f'(x)$ の不定積分であるから、

$f(x) = \int (6x^2 + 1) dx = 6 \int x^2 dx + \int 1 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = 2x^3 + x + C$

この曲線が点(0, 1)を通るので、$f(0) = 1$ である。

$f(0) = 2(0)^3 + 0 + C = C = 1$

したがって、$f(x) = 2x^3 + x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C$

(2) $\int (x^2 + x + 3) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$

(3) $f(x) = 2x^3 + x + 1$