以下の3つの不等式を証明する問題です。ただし、対数は自然対数とします。 (1) $t > 0$ のとき、$ \log t \leq t - 1 $ (2) $t > 0$ のとき、$ \log t \geq 1 - \frac{1}{t} $ (3) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$ x \log x \geq x \log y + x - y $

## 問題69

1. 問題の内容

以下の3つの不等式を証明する問題です。ただし、対数は自然対数とします。

(1) $t > 0$ のとき、$\log t \leq t - 1$

(2) $t > 0$ のとき、$\log t \geq 1 - \frac{1}{t}$

(3) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$x \log x \geq x \log y + x - y$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(t) = t - 1 - \log t$ を定義し、この関数が $t>0$ で常に0以上であることを示します。

$f'(t) = 1 - \frac{1}{t} = \frac{t-1}{t}$

$f'(t) = 0$ となるのは $t=1$ のとき。

$0 < t < 1$ で $f'(t) < 0$, $t > 1$ で $f'(t) > 0$ なので、$t=1$ で $f(t)$ は最小値をとります。

$f(1) = 1 - 1 - \log 1 = 0$

したがって、$f(t) \geq 0$ となり、$\log t \leq t - 1$ が成り立ちます。

(2) 関数 $g(t) = \log t - 1 + \frac{1}{t}$ を定義し、この関数が $t>0$ で常に0以上であることを示します。

$g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} = \frac{t-1}{t^2}$

$g'(t) = 0$ となるのは $t=1$ のとき。

$0 < t < 1$ で $g'(t) < 0$, $t > 1$ で $g'(t) > 0$ なので、$t=1$ で $g(t)$ は最小値をとります。

$g(1) = \log 1 - 1 + \frac{1}{1} = 0 - 1 + 1 = 0$

したがって、$g(t) \geq 0$ となり、$\log t \geq 1 - \frac{1}{t}$ が成り立ちます。

(3) 与えられた不等式を $x \log x - x \log y \geq x - y$ と変形します。

$x \log x - x \log y = x \log \frac{x}{y}$ と変形できます。

よって、$x \log \frac{x}{y} \geq x - y$ を示すことになります。

$t = \frac{x}{y}$ とおくと、$x = ty$ となります。

これを不等式に代入すると、$ty \log t \geq ty - y$

$y > 0$ なので、$t \log t \geq t - 1$ となります。

これは (1) で証明した不等式そのものです。

したがって、$x \log x \geq x \log y + x - y$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $t>0$ のとき、不等式 $\log t \leq t - 1$ が成り立つ。

(2) $t>0$ のとき、不等式 $\log t \geq 1 - \frac{1}{t}$ が成り立つ。

(3) $x>0$, $y>0$ のとき、不等式 $x \log x \geq x \log y + x - y$ が成り立つ。

## 問題70

1. 問題の内容

任意の $x > 0$ に対して、不等式 $\log x < a\sqrt{x}$ が成り立つような $a$ の範囲を求める問題です。ただし、対数は自然対数とします。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を $\frac{\log x}{\sqrt{x}} < a$ と変形します。

関数 $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ を定義し、この関数の最大値を求めます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \log x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \log x}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $2 - \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = 2$ のとき。

$x = e^2$

$x < e^2$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > e^2$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$x = e^2$ で $f(x)$ は最大値をとります。

$f(e^2) = \frac{\log e^2}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e}$

したがって、$\frac{\log x}{\sqrt{x}}$ の最大値は $\frac{2}{e}$ です。

任意の $x>0$ に対して、$\frac{\log x}{\sqrt{x}} < a$ が成り立つためには、$a > \frac{2}{e}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$a > \frac{2}{e}$