関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ を、導関数の定義に従って微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ を、導関数の定義に従って微分する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。これを用いて $f'(x)$ を求めます。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = \sqrt{2(x+h)+1} = \sqrt{2x+2h+1}$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = \sqrt{2x+2h+1} - \sqrt{2x+1}$

この式を $h$ で割ると、

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{2x+2h+1} - \sqrt{2x+1}}{h}$

この式に $\lim_{h \to 0}$ を適用すると不定形になるので、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{2x+2h+1} - \sqrt{2x+1}}{h} = \frac{(\sqrt{2x+2h+1} - \sqrt{2x+1})(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})}{h(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})}$

$= \frac{(2x+2h+1) - (2x+1)}{h(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})} = \frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1})}$

$= \frac{2}{\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1}}$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2x+2h+1} + \sqrt{2x+1}} = \frac{2}{\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x+1}} = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$