次の3つの不等式を解く問題です。 (1) $|x - 3| \le 8$ (2) $2x - 1 \le 3x - 8 \le 2x + 15$ (3) $\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2 - 2x < 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の3つの不等式を解く問題です。

(1) $|x - 3| \le 8$

(2) $2x - 1 \le 3x - 8 \le 2x + 15$

(3) $\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2 - 2x < 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を含む不等式 $|x - 3| \le 8$ を解きます。絶対値の性質から、

$-8 \le x - 3 \le 8$

各辺に3を加えると、

$-8 + 3 \le x - 3 + 3 \le 8 + 3$

$-5 \le x \le 11$

(2) 連立不等式 $2x - 1 \le 3x - 8 \le 2x + 15$ を解きます。

まず、$2x - 1 \le 3x - 8$ を解きます。

$2x - 1 \le 3x - 8$

$7 \le x$

次に、$3x - 8 \le 2x + 15$ を解きます。

$3x - 8 \le 2x + 15$

$x \le 23$

よって、$7 \le x \le 23$

(3) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2 - 2x < 0 \end{cases}$ を解きます。

まず、$x^2 + 3x + 2 > 0$ を解きます。

$(x + 1)(x + 2) > 0$

よって、$x < -2$ または $x > -1$

次に、$x^2 - 2x < 0$ を解きます。

$x(x - 2) < 0$

よって、$0 < x < 2$

したがって、$x < -2$ または $x > -1$ と $0 < x < 2$ を同時に満たす $x$ の範囲は、$0 < x < 2$ かつ $x > -1$となり、$0 < x < 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $-5 \le x \le 11$

(2) $7 \le x \le 23$

(3) $0 < x < 2$