サッカー部の部費を部員から集める。部員一人当たり4000円徴収すると6000円余る。一人当たり3500円ずつ徴収すると、部員の一人が他の人より多く出さなければならない。また、一人当たり3800円ずつ集めると、一人だけ500円未満の人が出る。部員の人数を求める。

1. 問題の内容

サッカー部の部費を部員から集める。部員一人当たり4000円徴収すると6000円余る。一人当たり3500円ずつ徴収すると、部員の一人が他の人より多く出さなければならない。また、一人当たり3800円ずつ集めると、一人だけ500円未満の人が出る。部員の人数を求める。

2. 解き方の手順

部員の人数を $x$ 人、部費の総額を $y$ 円とする。

まず、4000円ずつ徴収すると6000円余るので、

$4000x = y + 6000$

$y = 4000x - 6000$ (1)

次に、3500円ずつ徴収すると、ある1人が他の人より多く出さなければならなくなることから、$3500x > y$。しかし、部費は集まるはずなので、$3500(x-1) < y$。この不等式をまとめると

$3500(x-1) < y < 3500x$ (2)

最後に、3800円ずつ集めると、1人だけ500円未満しか出さない人が出ることから、その人が0円出す場合と499円出す場合を考える必要がある。つまり、集まる金額は、

$3800(x-1) \le y < 3800(x-1) + 500$ (3)

(1)を(2)に代入すると、

$3500(x-1) < 4000x - 6000 < 3500x$

$3500x - 3500 < 4000x - 6000 < 3500x$

$3500x - 3500 < 4000x - 6000$ より、$2500 < 500x$ なので、$x > 5$

$4000x - 6000 < 3500x$ より、$500x < 6000$ なので、$x < 12$

よって、$5 < x < 12$。

(1)を(3)に代入すると、

$3800(x-1) \le 4000x - 6000 < 3800(x-1) + 500$

$3800x - 3800 \le 4000x - 6000 < 3800x - 3800 + 500$

$3800x - 3800 \le 4000x - 6000$ より、$2200 \le 200x$ なので、$x \ge 11$

$4000x - 6000 < 3800x - 3300$ より、$200x < 2700$ なので、$x < 13.5$

よって、$11 \le x < 13.5$。

$5 < x < 12$ と $11 \le x < 13.5$ の両方を満たす整数 $x$ は $11, 12, 13$。

もし $x = 11$ の場合、$y = 4000 * 11 - 6000 = 44000 - 6000 = 38000$

$3800 * (11 - 1) = 38000$ より、条件を満たさない。

もし $x = 12$ の場合、$y = 4000 * 12 - 6000 = 48000 - 6000 = 42000$

$3800 * (12 - 1) = 3800 * 11 = 41800$

$3800 * (12 - 1) + 500 = 42300$

よって、$41800 \le 42000 < 42300$を満たす。

もし $x = 13$ の場合、$y = 4000 * 13 - 6000 = 52000 - 6000 = 46000$

$3800 * (13 - 1) = 3800 * 12 = 45600$

$3800 * (13 - 1) + 500 = 46100$

よって、$45600 \le 46000 < 46100$を満たす。

しかし、3500円ずつ集める場合を考える。

$x=12$ のとき、 $3500(12-1) = 3500 * 11 = 38500$ であり、 $3500*12=42000$。$38500 < 42000 < 42000$ は成り立たない。

$x=13$ のとき、 $3500(13-1) = 3500 * 12 = 42000$ であり、 $3500*13=45500$。$42000 < 46000 < 45500$も成り立たない。

計算ミスをしているので、再度計算する。

$3500x - 3500 < y < 3500x$

$3800(x-1) \le y < 3800(x-1) + 500$

$4000x - 6000 = y$

$3500x - 3500 < 4000x - 6000 < 3500x$

$2500 < 500x < 6000 + 3500$

$5 < x < 12$

$3800x - 3800 \le 4000x - 6000 < 3800x - 3300$

$2200 \le 200x < 2700$

$11 \le x < 13.5$

$x = 11, 12, 13$ が候補

$x=11, y = 38000$

$3500(11-1) = 35000 < 38000 < 3500 * 11 = 38500$

$3800(11-1) = 38000 \le 38000 < 38500$

$x=12, y = 42000$

$3500(12-1) = 38500 < 42000 < 3500 * 12 = 42000$

$3800(12-1) = 41800 \le 42000 < 42300$

$x=13, y = 46000$

$3500(13-1) = 42000 < 46000 < 3500 * 13 = 45500$

$x = 12$ は、 $3500 * 12$ が上限ではないので誤り。

$x = 13$ も同様

$x=11$ のとき、 $y = 38000$

3500円ずつ徴収すると、全員から3500円ずつ徴収し、残り3000円。最後の1人が3000円払う。

3800円ずつ徴収すると、全員から3800円ずつ徴収し、残り2200円。最後の1人が200円払う。

3. 最終的な答え

11人