以下の不定積分を計算します。 * (1) $\int (5x+1)^3 dx$ * (4) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$ * (1) $\int (4\cos x - \sin x) dx$ * (4) $\int (2-\tan x)\cos x dx$

## 問題の回答

以下に、画像の練習問題4.11と4.12に含まれる積分問題(1)と(4)を解きます。

1. **問題の内容**

以下の不定積分を計算します。

* (1) $\int (5x+1)^3 dx$

* (4) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$

* (1) $\int (4\cos x - \sin x) dx$

* (4) $\int (2-\tan x)\cos x dx$

2. **解き方の手順**

**(1) $\int (5x+1)^3 dx$**

置換積分を行います。$u = 5x+1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 5$ より、$dx = \frac{1}{5}du$ となります。

$$\int (5x+1)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^3 du$$

$$\frac{1}{5} \int u^3 du = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{20}u^4 + C$$

$u$ を元に戻すと、

$$\frac{1}{20}(5x+1)^4 + C$$

**(4) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx$**

置換積分を行います。$u = 1-x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -1$ より、$dx = -du$ となります。

$$\int \frac{1}{(1-x)^5} dx = \int \frac{1}{u^5} (-du) = -\int u^{-5} du$$

$$-\int u^{-5} du = - \frac{u^{-4}}{-4} + C = \frac{1}{4} u^{-4} + C$$

$u$ を元に戻すと、

$$\frac{1}{4(1-x)^4} + C$$

**(1) $\int (4\cos x - \sin x) dx$**

三角関数の積分を行います。

$$\int (4\cos x - \sin x) dx = 4\int \cos x dx - \int \sin x dx$$

$$4\int \cos x dx = 4\sin x + C_1$$

$$-\int \sin x dx = -(-\cos x) + C_2 = \cos x + C_2$$

したがって、

$$4\sin x + \cos x + C$$

**(4) $\int (2-\tan x)\cos x dx$**

式を展開します。

$$\int (2-\tan x)\cos x dx = \int (2\cos x - \tan x \cos x) dx$$

$$\int (2\cos x - \frac{\sin x}{\cos x} \cos x) dx = \int (2\cos x - \sin x) dx$$

$$\int 2\cos x dx - \int \sin x dx = 2\sin x - (-\cos x) + C = 2\sin x + \cos x + C$$

3. **最終的な答え**

* (1) $\int (5x+1)^3 dx = \frac{1}{20}(5x+1)^4 + C$

* (4) $\int \frac{1}{(1-x)^5} dx = \frac{1}{4(1-x)^4} + C$

* (1) $\int (4\cos x - \sin x) dx = 4\sin x + \cos x + C$

* (4) $\int (2-\tan x)\cos x dx = 2\sin x + \cos x + C$