問題は以下の不定積分を求めることです。 (1) $\int \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) dx$ (2) $\int 3\cos(3x - \frac{\pi}{3}) dx$ (3) $\int (2\cos 3x - 3e^{-3x}) dx$ (4) $\int e^{-5x+1} dx$

はい、承知いたしました。画像にある積分問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は以下の不定積分を求めることです。

(1) $\int \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) dx$

(2) $\int 3\cos(3x - \frac{\pi}{3}) dx$

(3) $\int (2\cos 3x - 3e^{-3x}) dx$

(4) $\int e^{-5x+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) dx$

$\frac{\pi}{4} - 3x = t$ と置換すると、 $-3dx = dt$ より $dx = -\frac{1}{3}dt$

$\int \cos(t) (-\frac{1}{3}) dt = -\frac{1}{3} \int \cos(t) dt = -\frac{1}{3} \sin(t) + C = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{4} - 3x) + C$

(2) $\int 3\cos(3x - \frac{\pi}{3}) dx$

$3x - \frac{\pi}{3} = t$ と置換すると、$3dx = dt$ より $dx = \frac{1}{3}dt$

$\int 3\cos(t) (\frac{1}{3}) dt = \int \cos(t) dt = \sin(t) + C = \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + C$

(3) $\int (2\cos 3x - 3e^{-3x}) dx$

$\int 2\cos 3x dx - \int 3e^{-3x} dx$

$\int 2\cos 3x dx = 2 \int \cos 3x dx$. $3x=t$と置換すると、$3dx=dt$より、$dx = \frac{1}{3}dt$。よって、$2\int \cos(t) \frac{1}{3}dt = \frac{2}{3}\sin(t) = \frac{2}{3}\sin(3x) + C_1$

$\int 3e^{-3x} dx$. $-3x=u$と置換すると、$-3dx=du$より、$dx=-\frac{1}{3}du$。よって、$3\int e^{u} (-\frac{1}{3})du = -\int e^{u} du = -e^{u} = -e^{-3x} + C_2$

$\frac{2}{3}\sin(3x) - (-e^{-3x}) + C = \frac{2}{3}\sin(3x) + e^{-3x} + C$

(4) $\int e^{-5x+1} dx$

$-5x+1 = t$と置換すると、$-5dx=dt$より、$dx = -\frac{1}{5}dt$

$\int e^{t} (-\frac{1}{5})dt = -\frac{1}{5}\int e^{t} dt = -\frac{1}{5}e^{t} + C = -\frac{1}{5}e^{-5x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) dx = -\frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{4} - 3x) + C$

(2) $\int 3\cos(3x - \frac{\pi}{3}) dx = \sin(3x - \frac{\pi}{3}) + C$

(3) $\int (2\cos 3x - 3e^{-3x}) dx = \frac{2}{3}\sin(3x) + e^{-3x} + C$

(4) $\int e^{-5x+1} dx = -\frac{1}{5}e^{-5x+1} + C$