$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$, $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して成り立つとき、不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, $h, k \in \mathbb{R}$ に対して成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$, $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して成り立つとき、不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, $h, k \in \mathbb{R}$ に対して成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を、偏微分に関する平均値の定理を用いて変形します。

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x, y)$

ここで、それぞれの差に対して平均値の定理を適用します。

第一項に対して、ある $\theta_1 \in (0, 1)$ が存在して、

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h$

第二項に対して、ある $\theta_2 \in (0, 1)$ が存在して、

$f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k$

したがって、

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k$

絶対値をとると、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k\right|$

三角不等式より、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k)\right| |h| + \left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k)\right| |k|$

仮定より、$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$ かつ $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ なので、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq M_1 |h| + M_2 |k|$

コーシー・シュワルツの不等式より、$M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が成り立ちます。

したがって、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

3. 最終的な答え

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$