$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表せ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$, $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表せ。

2. 解き方の手順

$\sin \alpha = \cos 2\beta$ を変形して、$\beta$ を $\alpha$ で表します。

$\cos 2\beta = \sin \alpha$ より、$\cos 2\beta = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha)$　または $\cos 2\beta = \cos (\alpha - \frac{\pi}{2})$。

$0 \le \beta \le \pi$ なので、$0 \le 2\beta \le 2\pi$。

$\cos x = \cos y$ を満たす $x$ と $y$ の関係は、$x = \pm y + 2n\pi$ ($n$ は整数) です。

したがって、$2\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi$ または $2\beta = -(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2n\pi$。

$2\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi$ より、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + n\pi$。

$2\beta = -(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2n\pi$ より、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi$。

$\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2}$。

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\alpha}{2} \le -\frac{\pi}{4}$。

(i) $\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + n\pi$ のとき

$0 \le \beta \le \pi$ より、$0 \le \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + n\pi \le \pi$。

$-\frac{\pi}{4} \le -\frac{\alpha}{2} + n\pi \le \frac{3\pi}{4}$。

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \le -\frac{\alpha}{2} + n\pi + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$0 \le -\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi \le \pi$。

$n=0$ のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。

$\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ は $-\frac{\pi}{4}$ 以上 $0$ 以下となるので不適。

$n=1$ のとき、$\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。

$\frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ は $\frac{3\pi}{4}$ 以上 $\pi$ 以下となるので条件を満たす。

よって、$\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。

(ii) $\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi$ のとき

$0 \le \beta \le \pi$ より、$0 \le -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + n\pi \le \pi$。

$\frac{\pi}{4} \le \frac{\alpha}{2} + n\pi \le \frac{5\pi}{4}$。

$n=0$ のとき、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$。

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$ は $0$ 以上 $\frac{\pi}{4}$ 以下となるので条件を満たす。

よって、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$。

$n=1$ のとき、$\beta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$。

$\frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$ は $\pi$ 以上 $\frac{5\pi}{4}$ 以下となるので不適。

以上より、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$ または $\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。

しかし、$0 \le \beta \le \pi$ を満たす必要があるので、$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$ と $\beta = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$ はともに条件を満たす。

$\sin\alpha = \cos(2\beta)$より、$\sin\alpha = \sin(\pi/2 - 2\beta)$

よって$\alpha = \pi/2 - 2\beta + 2n\pi$ または $\alpha = \pi - (\pi/2 - 2\beta) + 2n\pi$

$\alpha = \pi/2 - 2\beta + 2n\pi$ より $2\beta = \pi/2 - \alpha + 2n\pi$ ゆえに $\beta = \pi/4 - \alpha/2 + n\pi$. $n=1$のとき$\beta = 5\pi/4 - \alpha/2$

$\alpha = \pi - (\pi/2 - 2\beta) + 2n\pi$ より $\alpha = \pi/2 + 2\beta + 2n\pi$ ゆえに $2\beta = \alpha - \pi/2 + 2n\pi$ よって $\beta = \alpha/2 - \pi/4 + n\pi$

$n=0$ のとき $\beta = \alpha/2 - \pi/4$.

3. 最終的な答え

$\beta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$