方程式 $\ln(z+1) = 3 + \frac{\pi}{6}i$ を $z$ について解く。

1. 問題の内容

方程式 $\ln(z+1) = 3 + \frac{\pi}{6}i$ を $z$ について解く。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + iy$ とおく。すると、$\ln(z+1) = \ln(x+1+iy)$となる。与えられた方程式は、

$\ln(x+1+iy) = 3 + \frac{\pi}{6}i$

と書ける。

指数関数に変換すると、

$x+1+iy = e^{3+\frac{\pi}{6}i} = e^3 e^{\frac{\pi}{6}i}$

オイラーの公式より、$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ であるから、

$e^{\frac{\pi}{6}i} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

したがって、

$x+1+iy = e^3\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}e^3 + \frac{1}{2}e^3i$

実部と虚部を比較すると、

$x+1 = \frac{\sqrt{3}}{2}e^3$

$y = \frac{1}{2}e^3$

したがって、

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}e^3 - 1$

3. 最終的な答え

$z = x+iy = \frac{\sqrt{3}}{2}e^3 - 1 + \frac{1}{2}e^3i$