関数 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して、偏導関数が $|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)| \leq M_1$, $|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)| \leq M_2$ を満たすとき、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して、偏導関数が

$|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)| \leq M_1$, $|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)| \leq M_2$

を満たすとき、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を以下のように変形する。

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x, y)$

次に、それぞれの差に対して平均値の定理を適用する。

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h$ （ただし $0 < \theta_1 < 1$）

$f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y+\theta_2 k) k$ （ただし $0 < \theta_2 < 1$）

したがって、

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y+\theta_2 k) k$

絶対値を取ると、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = |\frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y+\theta_2 k) k|$

三角不等式より、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq |\frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h| + |\frac{\partial f}{\partial y}(x, y+\theta_2 k) k|$

仮定より、$|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)| \leq M_1$ および $|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)| \leq M_2$ なので、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq M_1 |h| + M_2 |k|$

ここで、Cauchy-Schwarzの不等式 $|ah + bk| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ を適用すると、

$M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

よって、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

3. 最終的な答え

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$