与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 4 & 8 & -4 \\ 5 & 4 & 3 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

3 & 9 & 4 & 8 & -4 \\

5 & 4 & 3 & -2 & 6 \\

0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 0 & -9 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 5

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、余因子展開を利用します。3行目から1列、2列、3列が0なので、3行目に沿って展開します。

$\begin{vmatrix}

3 & 9 & 4 & 8 & -4 \\

5 & 4 & 3 & -2 & 6 \\

0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\

0 & 0 & 0 & -9 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 5

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 3 \cdot C_{34} + (-4) \cdot C_{35}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分の余因子を表します。この式は単純化されて、

$= 3 \cdot C_{34} - 4 \cdot C_{35}$

となります。

$C_{34} = (-1)^{3+4} M_{34} = - M_{34}$

$C_{35} = (-1)^{3+5} M_{35} = M_{35}$

ここで、$M_{ij}$は(i, j)成分の小行列式を表します。

$M_{34} = \begin{vmatrix}

3 & 9 & 4 & -4 \\

5 & 4 & 3 & 6 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 5

\end{vmatrix}$

$M_{35} = \begin{vmatrix}

3 & 9 & 4 & 8 \\

5 & 4 & 3 & -2 \\

0 & 0 & 0 & -9 \\

0 & 0 & 0 & 2

\end{vmatrix}$

これらの行列式の計算も、再び余因子展開を利用できます。３行目の０が３つあるので、それを利用します。

$M_{34}$を３行目に関して展開すると、

$M_{34} = 0 \cdot C'_{31} + 0 \cdot C'_{32} + 0 \cdot C'_{33} + 1 \cdot C'_{34} = C'_{34}$

となります。ここで$C'_{ij}$は$M_{34}$に対する余因子です。

同様に、$M_{35}$を３行目に関して展開すると、

$M_{35} = 0 \cdot C''_{31} + 0 \cdot C''_{32} + 0 \cdot C''_{33} + (-9) \cdot C''_{34} = -9C''_{34}$

となります。ここで$C''_{ij}$は$M_{35}$に対する余因子です。

$C'_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 3 & 9 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 9 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C''_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 3 & 9 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 3 & 9 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$M_{34}=0$と$M_{35}=0$になります。

元の行列式を計算すると

$3 \cdot C_{34} - 4 \cdot C_{35}= 3 \cdot (-M_{34}) -4 \cdot (M_{35})=3 \cdot (-0) -4 \cdot (0) = 0$

あるいは、より簡単に考えることができます。$M_{34}$と$M_{35}$のどちらの行列式も、３行目がすべて０なので、行列式は０になります。

したがって、与えられた行列の行列式は０になります。

3. 最終的な答え

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