与えられた式が成り立つことを示す問題です。具体的には、以下の式が成立することを示します。 $\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta h, y), \quad (0 < \theta < 1)$

1. 問題の内容

与えられた式が成り立つことを示す問題です。具体的には、以下の式が成立することを示します。

$\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta h, y), \quad (0 < \theta < 1)$

2. 解き方の手順

これは平均値の定理を2変数関数に適用したものです。

まず、$g(x) = f(x, y)$ と定義します。ここで、$y$ は固定された定数とみなします。すると、$g(x)$ は1変数関数になります。

次に、1変数関数に対する平均値の定理を適用します。

平均値の定理によれば、$x$ と $x+h$ の間に少なくとも1つの $c$ が存在し、以下が成り立ちます。

$\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(c)$

ここで、$c = x + \theta h$ (ただし、$0 < \theta < 1$) と置くことができます。なぜなら、$c$ は $x$ と $x+h$ の間の値なので、ある $0 < \theta < 1$ を使って、$c = x + \theta h$ と表現できるからです。

$g(x) = f(x, y)$ より、$g(x+h) = f(x+h, y)$ および $g'(x) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)$ となります。

したがって、平均値の定理の式は以下のようになります。

$\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta h, y)$

3. 最終的な答え

$\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta h, y)$ は平均値の定理より成り立つ。