$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して、 $$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2 $$ が成り立つ。このとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ と $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式 $$ \left| f(x+h, y+k) - f(x, y) \right| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2} $$ が成立することを示せ。

1. 問題の内容

$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して、

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\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2

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が成り立つ。このとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ と $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式

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\left| f(x+h, y+k) - f(x, y) \right| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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が成立することを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を積分を用いて表すことを考える。

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y)

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ここで、積分路を $(x, y) \to (x+h, y) \to (x+h, y+k)$ と取る。

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f(x+h, y) - f(x, y) = \int_x^{x+h} \frac{\partial f}{\partial x} (t, y) \, dt

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f(x+h, y+k) - f(x+h, y) = \int_y^{y+k} \frac{\partial f}{\partial y} (x+h, s) \, ds

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したがって、

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = \int_x^{x+h} \frac{\partial f}{\partial x} (t, y) \, dt + \int_y^{y+k} \frac{\partial f}{\partial y} (x+h, s) \, ds

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不等式

$\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2$ を用いると、

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\begin{aligned}

\left| f(x+h, y+k) - f(x, y) \right| &\leq \left| \int_x^{x+h} \frac{\partial f}{\partial x} (t, y) \, dt \right| + \left| \int_y^{y+k} \frac{\partial f}{\partial y} (x+h, s) \, ds \right| \\

&\leq \int_x^{x+h} \left| \frac{\partial f}{\partial x} (t, y) \right| \, dt + \int_y^{y+k} \left| \frac{\partial f}{\partial y} (x+h, s) \right| \, ds \\

&\leq \int_x^{x+h} M_1 \, dt + \int_y^{y+k} M_2 \, ds \\

&= M_1 \left| \int_x^{x+h} dt \right| + M_2 \left| \int_y^{y+k} ds \right| \\

&= M_1 |h| + M_2 |k|

\end{aligned}

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Cauchy-Schwarz の不等式を用いると、

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M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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したがって、

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\left| f(x+h, y+k) - f(x, y) \right| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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3. 最終的な答え

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\left| f(x+h, y+k) - f(x, y) \right| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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