(6) 正七角形の対角線の本数を求めます。 (7) 男子7人、女子5人の計12人の中から5人の委員を選ぶ問題について、 (2) 男子の委員3人、女子の委員2人を選ぶ選び方は何通りあるかを求めます。 (3) 特定の男子2人a, bと女子1人cが選ばれる選び方は何通りあるかを求めます。 (8) 9人の生徒を4人、3人、2人の3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求めます。

1. 問題の内容

(6) 正七角形の対角線の本数を求めます。

(7) 男子7人、女子5人の計12人の中から5人の委員を選ぶ問題について、

(2) 男子の委員3人、女子の委員2人を選ぶ選び方は何通りあるかを求めます。

(3) 特定の男子2人a, bと女子1人cが選ばれる選び方は何通りあるかを求めます。

(8) 9人の生徒を4人、3人、2人の3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

(6) 正n角形の対角線の本数は、$n(n-3)/2$ で求められます。正七角形なので、$n=7$ を代入します。

(7) (2) 男子7人から3人を選ぶ組み合わせは $\binom{7}{3}$ 通り、女子5人から2人を選ぶ組み合わせは $\binom{5}{2}$ 通りです。よって、求める場合の数は、これらの積になります。

(3) 特定の男子2人a, bと女子1人cが選ばれるということは、残り2人を選ぶことになります。男子は残り5人、女子は残り4人なので、残り9人から2人を選ぶ組み合わせ $\binom{9}{2}$ 通りが答えになります。

(8) まず9人から4人を選ぶ方法は $\binom{9}{4}$ 通りです。次に残りの5人から3人を選ぶ方法は $\binom{5}{3}$ 通りです。最後に残りの2人から2人を選ぶ方法は $\binom{2}{2}=1$ 通りです。したがって、求める場合の数は、

$\binom{9}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2}$ で計算できます。

3. 最終的な答え

(6) 対角線の本数:

$7(7-3)/2 = 7 \times 4 / 2 = 14$ 本

(7) (2) 男子の委員3人、女子の委員2人を選ぶ選び方:

$\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 35 \times 10 = 350$ 通り

(7) (3) 特定の男子2人a, bと女子1人cが選ばれる選び方:

$\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り

(8) 4人、3人、2人の3つのグループに分ける方法:

$\binom{9}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通り

したがって、答えは以下のようになります。

(6) 14 本

(7) (2) 350 通り

(7) (3) 36 通り

(8) 1260 通り