全体集合 $U$ を1以上100以下の整数の集合とする。$U$ の部分集合 $A$, $B$, $C$ をそれぞれ、$A = \{n | n \text{ は } 2 \text{ の倍数}\}$、$B = \{n | n \text{ は } 3 \text{ の倍数}\}$、$C = \{n | n \text{ は } 5 \text{ の倍数}\}$ とする。このとき、集合 $A \cup B \cup C$ の要素の個数を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を1以上100以下の整数の集合とする。$U$ の部分集合 $A$, $B$, $C$ をそれぞれ、$A = \{n | n \text{ は } 2 \text{ の倍数}\}$、$B = \{n | n \text{ は } 3 \text{ の倍数}\}$、$C = \{n | n \text{ は } 5 \text{ の倍数}\}$ とする。このとき、集合 $A \cup B \cup C$ の要素の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

包除原理を利用して $A \cup B \cup C$ の要素の個数を求める。

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

まず、$|A|, |B|, |C|$ を求める。

$|A|$ は100以下の2の倍数の個数なので、

$|A| = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$|B|$ は100以下の3の倍数の個数なので、

$|B| = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$|C|$ は100以下の5の倍数の個数なので、

$|C| = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

次に、$|A \cap B|, |A \cap C|, |B \cap C|$ を求める。

$A \cap B$ は2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数の集合なので、

$|A \cap B| = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$A \cap C$ は2の倍数かつ5の倍数、つまり10の倍数の集合なので、

$|A \cap C| = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

$B \cap C$ は3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数の集合なので、

$|B \cap C| = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

最後に、$|A \cap B \cap C|$ を求める。

$A \cap B \cap C$ は2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数、つまり30の倍数の集合なので、

$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

したがって、

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$

3. 最終的な答え

74