4x2のマス目に1から4までの自然数を入れます。各行（横の並び）にも各列（縦の並び）にも同じ数が現れないように入れる場合の数Kを求めます。与えられた初期配置は以下の通りです。 ``` 2 1 3 4 1 4 2 3 ```
2025/7/15
1. 問題の内容
4x2のマス目に1から4までの自然数を入れます。各行（横の並び）にも各列（縦の並び）にも同じ数が現れないように入れる場合の数Kを求めます。与えられた初期配置は以下の通りです。
```
2 1 3 4
1 4 2 3
```
2. 解き方の手順
与えられた初期配置は以下の通りです。
```
2 1 3 4
1 4 2 3
```
これはラテン方陣の条件を満たしています。
ラテン方陣では、行と列に同じ数字が重複してはいけません。与えられた配置では、1行目と2行目を入れ替えることはできません（列に同じ数字が重複するため）。
1から4の数字を用いて4x4のラテン方陣を作成する組み合わせの数を求めます。
最初の行は4! = 24通りの可能性があります。
2行目以降は、1行目と列の条件を守る必要があります。
問題の条件では、行と列に同じ数字が入らないというラテン方陣のルールを満たす必要があるので、与えられた配置を基に考えます。
まず、1行目を固定します。この問題では、1行目は「2 1 3 4」で固定されています。
次に、2行目を考えます。
1列目には、2以外の数字が入ります。
2列目には、1以外の数字が入ります。
3列目には、3以外の数字が入ります。
4列目には、4以外の数字が入ります。
問題で与えられた初期配置を見ると、「1 4 2 3」となっています。
可能なパターンをすべて列挙してみます。
与えられた1行目「2 1 3 4」に対して、2行目が
- 「1 2 4 3」
- 「1 3 4 2」
- 「1 4 2 3」
- 「3 2 4 1」
- 「3 4 1 2」
- 「4 2 1 3」
- 「4 3 1 2」
のとき、ラテン方陣の条件を満たすことがあります。
しかし、与えられた問題では、1行目と2行目が固定されています。したがって、2行目の配置が与えられたもの以外ありえないかを検討します。
与えられた配置以外に、2行目に条件を満たす数字の配置は存在しないか？を考えます。
例えば、
```
2 1 3 4
3 4 1 2
```
これも条件を満たします。
また、
```
2 1 3 4
4 3 2 1
```
は条件を満たしません(3列目で3が重複するため)。
この問題では、すでに2行の数字が決定されているので、並び替えることはできません。
つまり与えられた形から並び替えて別のパターンを作ることはできません。
ただし、最初の問題文に「右の図のようなマス目を考える」とあるので、マス目を回転させたり反転させたりすることで異なるパターンが得られる可能性があります。しかし、そのような操作をしても、本質的に同じ配置になるため、異なる数え方はしません。
3. 最終的な答え
K = 4
4通りの組み合わせがあります。