4x4のマス目に1から4までの数字を、どの行にもどの列にも同じ数字が現れないように入れる場合の数を求めよ。

1. 問題の内容

4x4のマス目に1から4までの数字を、どの行にもどの列にも同じ数字が現れないように入れる場合の数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1行目の数字の並び方は、1, 2, 3, 4を並べる順列なので、4! = 24通りあります。ここでは、1行目を1, 2, 3, 4と固定して考えて、最後に24をかけることにします。

2行目以降の並び方を考えるために、いくつかの場合に分けて考えます。

* **2行目の左端が1の場合:**

2行目は1から始まらないため、この場合はありえません。

* **2行目の左端が2の場合:**

2行目の並びは、2, 1, 4, 3 と 2, 3, 4, 1の2パターンがあります。

* **2行目の左端が3の場合:**

2行目の並びは、3, 4, 1, 2 の1パターンがあります。

* **2行目の左端が4の場合:**

2行目の並びは、4, 3, 2, 1 の1パターンがあります。

したがって、2行目の並び方は合計4通りです。

2行目が2, 1, 4, 3の場合を考えます。3行目と4行目は3, 4, 1, 2と4, 3, 2, 1の1通りしかありません。

2行目が2, 3, 4, 1の場合を考えます。3行目と4行目は4, 1, 2, 3と3, 4, 1, 2の1通りしかありません。

2行目が3, 4, 1, 2の場合を考えます。3行目と4行目は4, 3, 2, 1の1通りしかありません。

2行目が4, 3, 2, 1の場合を考えます。3行目と4行目は3, 4, 1, 2の1通りしかありません。

よって、条件を満たす並べ方は、各行の1番上の数字の並び方の数だけ存在するので、

$4 \times 1 = 4$

この結果に、最初に固定した1行目の並び方(24通り)を掛けると、

$4 \times 24 = 96$通り

3. 最終的な答え

96