関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられています。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。 (2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が $13$ 以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられています。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。

(2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が $13$ 以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2^x = t$ なので、$4^x = (2^x)^2 = t^2$。また、$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{t}{4}$。したがって、

$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{t}{4} = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $x \le -1$ より、$2^x \le 2^{-1} = \frac{1}{2}$。したがって、$0 < t \le \frac{1}{2}$。

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t = \left( t - \frac{3}{8} \right)^2 - \frac{9}{64}$

$f(x)$ は $t = \frac{3}{8}$ で最小値 $-\frac{9}{64}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$

$t \to 0$ のとき、$f(x) \to 0$

したがって、$-\frac{9}{64} \le f(x) \le 0$ ではない.

$0 < t \le \frac{1}{2}$ の範囲において、$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$ は、$t = \frac{1}{2}$ で最大値 $-\frac{1}{8}$ となる。

$t \to 0$ で、$f(x)$ は $0$ に近づく。

したがって、$f(x)$ のとりうる値の範囲は$-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$.

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = - \frac{1}{8}$.

$t \le \frac{1}{2}$, $t>0$, なので

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$ の取りうる値の範囲は、$f(0) = 0$ , $f(\frac{1}{2})= -\frac{1}{8}$なので、

$-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$

(3) $f(x)$ は $x = a+1$ で最大値をとるので、$f'(x) = 2t - \frac{3}{4}$. $f'(x)=0$となるのは、$t=\frac{3}{8}$, $x=\log_2 \frac{3}{8}$で、$a+1 > \log_2{\frac{3}{8}}$となる。

$f(a+1) \le 13$より、$4^{a+1} - 3 \cdot 2^{a+1-2} \le 13$

$4 \cdot 4^a - \frac{3}{2} \cdot 2^a \le 13$

$4 \cdot 4^a - \frac{3}{2} \cdot 2^a - 13 \le 0$

$8 \cdot 4^a - 3 \cdot 2^a - 26 \le 0$

$2^a = X$とおくと、$8 X^2 - 3X - 26 \le 0$

$(X-2)(8X+13) \le 0$

$-\frac{13}{8} \le X \le 2$

$X = 2^a > 0$なので、$0 < 2^a \le 2$

$2^a \le 2^1$より、$a \le 1$。

$a \le x \le a+1$ において、$f(x)$ が $x=a+1$ で最大となる条件を考える。

$f'(x) = (2^{x+1} - \frac{3}{4} \ln2 \cdot 2^x = 0)$

$f(a+1)$ が最大値となるとき、軸 $x = \log_2(\frac{3}{8})$ が区間 $[a, a+1]$ の左側にある必要がある。つまり、$a+1 > \log_2(\frac{3}{4} \cdot \ln2) \approx \log_2 \left(\frac{3}{4} \cdot (2)^{0.69}\right)$.

$\log_2(3/8)= \log_2 3 - 3 = 1.58 -3 = -1.42$.

軸 $x = \log_2 \frac{3}{8}$ が区間 $[a, a+1]$ の左側にあるとき、$a+1 \ge \log_2 \frac{3}{8}$

軸 $x = \log_2 \frac{3}{8}$ が区間 $[a, a+1]$ の右側にあるとき、$a \le \log_2 \frac{3}{8}$

もし $f(a+1)$が最大値であるならば、軸は区間の左にある。

つまり $log_2 \frac{3}{8} \leq a$, 軸は区間の左にあるから、a = 1 が上限となる。

よって$2^a = T$について$8T^2-3T-26 \leq 0$,よって$(T-2)(8T+13) \leq 0$, よって$-\frac{13}{8} \leq T \leq 2$, つまり、$2^a \leq 2$, よって $a \leq 1$.

さらに $log_2 \frac{3}{8} \leq a$　なので、$a = -1.42 \leq a \leq 1$.よって$log_2\frac{3}{8}$ になりました。

最終的に $a < \log_2(3/8)= \log_2{0.375} < -1$. したがって、 $1 \geq a \geq \log_2(3/8)$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$

(3) $a \le 1$

$\log_2 \frac{3}{8} \le a \le 1$.