関数 $f(x) = x^3 - 3x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ がある。$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \ge 0$ である。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。 (3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ となるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x$ で定義される曲線 $C: y = f(x)$ がある。$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \ge 0$ である。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \ge 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ となるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x) = x^3 - 3x$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線 $l$ の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 3$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は次のようになる。

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点は、方程式 $x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$ を満たす $x$ の値である。

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

接点は $x=t$ なので，$x-t$を因数に持つ。因数分解する。

$(x - t)(x^2 + tx - 2t^2) = 0$

$(x - t)(x - t)(x + 2t) = 0$

$(x - t)^2 (x + 2t) = 0$

したがって、$x = t$ または $x = -2t$ である。

接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = -2t$ である。

このとき、$y = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$ である。

よって、共有点の座標は $(-2t, -8t^3 + 6t)$ となる。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形の $x \ge 0$ の部分の面積 $S$ を求める。

$S = \int_{0}^{t} \{(3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x)\} dx$

$S = \int_{0}^{t} (-x^3 + 3t^2x - 2t^3) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}t^2x^2 - 2t^3x \right]_{0}^{t}$

$S = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{3}{2}t^4 - 2t^4 = \frac{-1+6-8}{4}t^4 = -\frac{3}{4}t^4$

$S$ は面積なので正の値をとる。したがって、$x$の積分範囲は$-2t$から$t$で考える。ただし、$x \ge 0$ の部分のみなので、$t>0$より$-2t<0$であるから、積分範囲は$0$から$t$である。

積分する関数は$(x^3-3x) - (3t^2-3)x+2t^3$で、これは$x$についての3次関数であり、$x$の３乗の係数は正である。

したがって、$x=t$の近傍では、$y=x^3-3x$が接線$l$よりも上側に位置する。よって、

$S = \int_0^t (x^3 - 3x -( (3t^2 - 3)x - 2t^3 ) dx = \int_0^t (x^3 - 3t^2 x + 2t^3) dx$

$= [ \frac{x^4}{4} - \frac{3}{2} t^2 x^2 + 2t^3 x ]_0^t = \frac{t^4}{4} - \frac{3}{2}t^4 + 2t^4 = (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2)t^4 = \frac{3}{4} t^4$

$S = 12$ より、$\frac{3}{4}t^4 = 12$

$t^4 = 16$

$t = 2$ (ただし、$t \ge 0$)

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) $t = 2$