関数 $y = \frac{2x-5}{x-2}$ の定義域、値域、漸近線を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x-5}{x-2}$ の定義域、値域、漸近線を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$y = \frac{2x-5}{x-2} = \frac{2(x-2) - 1}{x-2} = 2 - \frac{1}{x-2}$

次に、定義域を求めます。分母が0にならないように、$x-2 \ne 0$ である必要があります。

したがって、$x \ne 2$。定義域は $x \ne 2$ を満たす全ての実数です。

次に、値域を求めます。

$y = 2 - \frac{1}{x-2}$ を $x$ について解きます。

$y - 2 = -\frac{1}{x-2}$

$x-2 = -\frac{1}{y-2}$

$x = 2 - \frac{1}{y-2}$

$x$ が定義されるためには、$y-2 \ne 0$ である必要があります。

したがって、$y \ne 2$。値域は $y \ne 2$ を満たす全ての実数です。

最後に、漸近線を求めます。

$x$ が限りなく大きくなると、$y$ は 2 に近づきます。したがって、$y = 2$ は水平漸近線です。

また、$x$ が 2 に近づくと、$y$ は無限大に発散します。したがって、$x = 2$ は垂直漸近線です。

3. 最終的な答え

定義域: $x \ne 2$

値域: $y \ne 2$

漸近線: $x=2$, $y=2$