与えられた逆三角関数の方程式を解く。 (2) $\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \frac{5}{13}$

解析学逆三角関数三角関数方程式
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の方程式を解く。
(2) sin1x=cos1513\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \frac{5}{13}

2. 解き方の手順

cos1513=θ\cos^{-1} \frac{5}{13} = \theta とおくと、cosθ=513\cos \theta = \frac{5}{13} となる。
sin1x=θ\sin^{-1} x = -\theta であるから、sin(θ)=x\sin (-\theta) = x となる。
sin(θ)=sinθ\sin (-\theta) = -\sin \theta であるから、x=sinθx = -\sin \theta となる。
sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、sin2θ=1cos2θ=1(513)2=125169=144169\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} となる。
sinθ=±144169=±1213\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} となる。
0θπ0 \le \theta \le \pi であるから、sinθ0\sin \theta \ge 0 となるので、sinθ=1213\sin \theta = \frac{12}{13} となる。
よって、x=sinθ=1213x = -\sin \theta = -\frac{12}{13} となる。

3. 最終的な答え

x=1213x = -\frac{12}{13}

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