与えられた積分を計算します。 $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$$

2. 解き方の手順

まず、根号の中の式を平方完成します。

$$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$$

したがって、積分は

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(x - 1)^2 + 2}}$$

となります。

ここで、$x - 1 = \sqrt{2} \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{2} \cosh(u) du$ となります。

したがって、積分は

$$\int \frac{\sqrt{2} \cosh(u) du}{\sqrt{2\sinh^2(u) + 2}} = \int \frac{\sqrt{2} \cosh(u) du}{\sqrt{2(\sinh^2(u) + 1)}} = \int \frac{\sqrt{2} \cosh(u) du}{\sqrt{2\cosh^2(u)}} = \int \frac{\sqrt{2} \cosh(u) du}{\sqrt{2} \cosh(u)} = \int du = u + C$$

となります。

ここで、$x - 1 = \sqrt{2} \sinh(u)$ だったので、$\sinh(u) = \frac{x - 1}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、$u = \sinh^{-1}(\frac{x - 1}{\sqrt{2}})$ となります。

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、$u = \ln(\frac{x - 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{(\frac{x - 1}{\sqrt{2}})^2 + 1}) = \ln(\frac{x - 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 1}{2} + 1}) = \ln(\frac{x - 1}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 3}{2}}) = \ln(\frac{x - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}{\sqrt{2}}) = \ln(\frac{x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}}{\sqrt{2}})$

となります。

$u + C = \ln(x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) - \ln(\sqrt{2}) + C = \ln(x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C'$

あるいは、

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)^2 + 2}} = \sinh^{-1}(\frac{x-1}{\sqrt{2}}) + C = \ln(x - 1 + \sqrt{(x - 1)^2 + 2}) + C' = \ln(x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C'$$

3. 最終的な答え

$$\ln(x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C$$