$\sin^{-1} x = - \cos^{-1} \frac{5}{13}$ を満たす $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sin^{-1} x = - \cos^{-1} \frac{5}{13}$ を満たす $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^{-1} \frac{5}{13}$ の値を$\theta$と置きます。

$$\theta = \cos^{-1} \frac{5}{13}$$

この時、$\cos \theta = \frac{5}{13}$ となります。$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq \pi$ です。

$\sin \theta$ を求めるために、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使います。

$$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$$

よって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$ となります。

$0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲では $\sin \theta \geq 0$ なので、$\sin \theta = \frac{12}{13}$ です。

元の式に戻ると $\sin^{-1} x = - \theta$ となります。

両辺の $\sin$ を取ると $x = \sin (-\theta) = - \sin \theta$ となります。

$\sin \theta = \frac{12}{13}$ だったので、$x = - \frac{12}{13}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{12}{13}$